切比雪夫不等式证明(精选多篇)

第一篇：切比雪夫不等式证明

切比雪夫不等式证明

一、

试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。

分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此

1000次试验中出现正面h的次数服从二项分布.

解:设x表示1000次试验中出现正面h的次数,则x是一个随机变量,且

~xb(1000,1/2).因此

500

2

1

1000=×==npex,

250)

2

答题完毕，祝你开心!

1

1(

2

1

1000)1(=××==pnpdx,

而所求的概率为

}500600500400{}600400{<<=<}100100{<<=exxp

}100{<=exxp

975.0

100

1

2

=≥

dx

.

二、

切比雪夫(chebyshev)不等式

对于任一随机变量x,若ex与dx均存在,则对任意ε>0,

恒有p{|x-ex|>=ε}<=dx/ε^2或p{|x-ex|<ε}>=1-dx/ε^2

切比雪夫不等式说明，dx越小，则p{|x-ex|>=ε}

越小，p{|x-ex|<ε}越大，也就是说，随机变量x取值基本上集中在ex附近，这进一步说明了方差的意义。

同时当ex和dx已知时，切比雪夫不等式给出了概率p{|x-ex|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量x的具体概率分布，而只与其方差dx和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。

切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过k倍标准差的数据占的比例至多是1/k^2。

在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：

与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4

与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9

与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16

……

与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/k^2

举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分(与平均相差3个标准差以上)的人，数目不多于4个(=36*1/9)。

设(x,σ,μ)为一测度空间，f为定义在x上的广义实值可测函数。对於任意实数t>0，

一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有

上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得：

概率论说法

设x为随机变数，期望值为μ，方差为σ2。对于任何实数k>0，

改进

一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子：

这个分布的标准差σ=1/k，μ=0。

当只求其中一边的值的时候，有cantelli不等式：

证明

定义，设为集的指标函数，有

又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变数y和正数a有pr(|y|leopeatorname{e}(|y|)/a。取y=(x?μ)2及a=(kσ)2。

亦可从概率论的原理和定义开始证明。

第二篇：切比雪夫不等式的证明(离散型随机变量)

设随机变量x有数学期望?及方差?，则对任何正数?，下列不等式成立 2

?2

p?x?e(x)????2 ?

证明：设x是离散型随机变量，则事件x?e(x)??表示随机变量x取得一切满足不等式xi?e(x)??的可能值xi。设pi表示事件x?xi的概率，按概率加法定理得

p?x?e(x)????

xi?e(x)???pi

这里和式是对一切满足不等式xi?e(x)??的xi求和。由于xi?e(x)??，即?xi?e(x)?2??2xi?e(x)??，所以有2?2?1。

2?xi?e(x)?又因为上面和式中的每一项都是正数，如果分别乘以?2，则和式的值将增大。

于是得到

p?x?e(x)????

xi?e(x)???pi?xi?e(x)????xi?e(x)??22pi?1

?2xi?e(x)????xi?e(x)?2pi

因为和式中的每一项都是非负数，所以如果扩大求和范围至随机变量x的一切可能值xi求和，则只能增大和式的值。因此

p?x?e(x)????1

?2??x?e(x)?i

i2pi

上式和式是对x的一切可能值xi求和，也就是方差的表达式。所以，

?2

p?x?e(x)????2 ?

第三篇：经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式

mathwang

几个经典不等式的关系

一 几个经典不等式

（1）均值不等式

设a1,a2,?an?0是实数

a?a???a12n ???

111n?+??a1a2an

其中ai?0,i?1,2,?n.当且仅当a1?a2???an时，等号成立.

n

（2）柯西不等式

设a1,a2,?an,b1,b2,?bn是实数，则

?a

21

22?a2???an??b12?b22???bn2???a1b1?a2b2???anbn?

2

当且仅当bi?0(i?1,2,?,n)或存在实数k，使得ai?kbi(i?1,2,?,n)时，等号成立.

（3）排序不等式

设a1?a2???an，b1?b2???bn为两个数组，c1，c2，?，cn是b1，b2,?，bn的任一排列，则

a1b1?a2b2???anbn?a1c1?a2c2???ancn?a1bn?a2bn?1???anb1 当且仅当a1?a2???an或b1?b2???bn时，等号成立.

（4）切比晓夫不等式

对于两个数组：a1?a2???an，b1?b2???bn，有

a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an??b1?b2???bn?a1bn?a2bn?1???anb1

??????

nnnn????

当且仅当a1?a2???an或b1?b2???bn时，等号成立.

二 相关证明

（1）用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明：由

a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an??b1?b2???bn?

?????

nnn????

?n?a1b1?a2b2???anbn???a1?a2???an??b1?b2???bn?

而

?a1?a2???an??b1?b2???bn??a1b1?a2b2???anbn?a1b2?a2b3???anb1?a1b3?a2b4???anb2?a1b4?a2b5???anb3??

?a1bn?1?a2bn???anbn?2

?a1bn?a2b1???anbn?1

根据“顺序和?乱序和”（在n?1个部分同时使用），可得

n?a1b1?a2b2???anbn???a1?a2???an??b1?b2???bn?

即得

a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an??b1?b2???bn?

?????

nnn????

同理，根据“乱序和?反序和”，可得

?a1?a2???an??b1?b2???bn?a1bn?a2bn?1???anb1

?????

nnn????

综合即证

（2）用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”

?证明：构造两个数列：

a1?a2???an

n

aa?aa1aa

,x2?122,?xn?12nn?1 ccc

1c1c21cn

y1??,y2??,?yn???1

x1a1x2a1a2xna1a2?an

x1?

其中c?

.因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的和：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

x1y1?x2y2??xnyn

总是两数组的反序和.于是由“乱序和?反序和”，总有 ．．．．．．．．．

x1yn?x2y1??xnyn?1?x1y1?x2y2??xnyn

于是

aa1a2

????n?1?1???1 ccc

即

a1?a2???an

?n

c

即证

a1?a2???an

?c?n

a1?a2???an（3）用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”

：?

n证明：不妨设a1?a2???an，

222

a1?a2???an?a1?a2???an??a1?a2???an?a1?a2???an

. ???????

nnnn????

由切比晓夫不等式，右边不等式显然成立.即证. （4）用切比晓夫不等式证明“调和—算数平均不等式”

n?+??a1a2an

?

a1?a2???an

n

证明：

n111?+??a1a2an

?

a1?a2???an

n

1?11

?+??a1a2an?a1?a2???an??????

nn???

??

111?

a??a????a?12n?a1a2an

??1?.

n?

??

不妨设a1?a2???an，则

111????，由切比晓夫不等式，上式成立.即证. anan?1a1

（5）用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式

证明：不妨设a1?a2???an，b1?b2???bn 由切比晓夫不等式，有

a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an??b1?b2???bn?

?????.

nnn????

由均值不等式，有

a1?a2???an?

nb1?b2???bn?

n所以

a1b1?a2b2???anbn

?

n

两边平方，即得?a1b1?a2b2???anbn??a1?a2???an

b

22?b2???bn.即证.

（6）补充“调和—几何平均不等式”的证明

111

????

a?a2???ananaa21

证明

?1中的ai换成.

?1

na

inn

?两边取倒数，即得

?+??a1a2an

第四篇：切比雪夫不等式及其应用(摘要)

天津理工大学2014届本科毕业论文

切比雪夫不等式及其应用

摘要

切比雪夫不等式是概率论中重要的不等式之一。尤其在分布未知时，估计某些事件的概率的上下界时，常用到切比雪夫不等式。另外，大数定律是概率论极限理论的基础，而切比雪夫不等式又是证明大数定律的重要途径。如今，在切比雪夫不等式的基础上发展起来的一系列不等式都是研究中心极限定理的有力工具。作为一个理论工具，切比雪夫不等式的地位是很高的。

本文首先介绍了切比雪夫不等式的一些基本理论，引出其概率形式，用现代概率方法证明了切比雪夫不等式并给出了其等号成立的充要条件。其次，从三大方面阐述了其在概率论中的应用，并且给出了切比雪夫大数定律和伯努利大数定律的证明。在充分了解切比雪夫不等式后，最后探索了其在生活中的应用，并且用切比雪夫不等式评价了irr的概率风险分析。

关键词:切比雪夫不等式大数定律irr

the chebyster’s inequality and its applications

abstract

in probability theory, the chebyshev’s inequality is one of the important inequalities. in particular the distribution is unknown, the chebyshev’s inequality is usually used when estimating the boundary from above or below of probability. in addition, the law of large numbers is the basis of the limit theory of probability. the chebyshev’s inequality is an important way to prove it. now, a series of inequalities that are developed on the basis of the chebyshev’s inequality are a powerful tool for the central limit theorem. as a theoretical tool, its status is very high.

first, this article introduces some basic theory of the chebyshev’s inequality, it raises the chebyshev’s inequality’s form of probability and makes a prove for the chebyshev’s inequality with the method of modern probability. furthermore, it gives the necessary and sufficient condition of the establishment of the equal sign.

天津理工大学2014届本科毕业论文

secondly, we introduces its five application in probability theory and gives theprove of the chebyshev and bernoulli law of large numbers. after the full understanding of the chebyshev’s inequality, finally, we explore its application in the life and give the probabilistic risk assessment of the irr with the chebyshev’s inequality.

key words：chebyshev’s inequalitylaw of large numbersirr

第五篇：应用切比雪夫

应用切比雪夫不等式解题

切比雪夫不等式是解决不等式问题的强力武器之一.本文对该不等式及其应用进行简单的介绍.

一、切比雪夫不等式及其推论

1?ai?bi n

1 ②若a1?a2?????an,b1?b2?????bn.则有?aibi??ai?bi（切比雪夫不等式） n①若a1?a2?????an,b1?b2?????bn.则有?aibi?

常见的方法是运用排序不等式，但最简单的证法是通过恒等变形.

证明1：①式左边为顺序和，记为s，则

s?a1b1?a2b2?????anbn,s?a1b2?a2b3?????anb1,

s?a1b3?a2b4?????anb2,??????,s?a1bn?a2b1?????anbn?1.将上面n个式子相加，并按列求和即得结论. ②证明同上（左边反序和不等号反向即可）.

证明2：

推论1设xi?r?(i?1,2,???,n)，实数p,q均不为零.则

⑴当p,q同号时，?x

i?1

nnp?qi1npnq??xi??xi ni?1i?11npnq??xi??xi. ni?1i?1⑵当p,q异号时，?xi?1p?qi

该推论直接应用切比雪夫不等式即证.

推论2设xi?r?(i?1,2,???,n)，

ns则x?1,r?s?0.x?x?i?i. ?iri?1i?1i?1nnn1nnn1nr?sns1r?snss证明：事实上，?xi??xi?xi??n(?xi)??xi??xi ni?1ni?1i?1i?1i?1i?1r

推论3设a1,a2,???,an,b1,b2,???,bn?r且a1?a2?????an,b1?b2?????bn 或a1?a2?????an,b1?b2?????bn，mi?r?(i?1,2,???,n)

则?m??mab??ma??mb iiiiiiii

i?1i?1i?1i?1nnnn

1nn

证明：事实上，?mi??miaibi??miai??mibi???mimj(ai?aj)(bi?bj)(好 范文网：wwW.)?0. 2i?1j?1i?1i?1i?1i?1

推论3是切比雪夫不等式的加权形式.显然，当m1?m2?????mn时，就是切比雪夫不等式. nnnn

注意：切比雪夫与推论3等号成立的条件均为a1?a2?????an,b1?b2?????bn中至少一组成立.

二、切比雪夫不等式的应用

1、构造两组数证明不等式.此类问题最关键、也是最难的步骤就是构造，选择两组数时往往需要很强的技巧.

例1、已知0?a?b?c?d?e,例2、设xi?r?(i?1,2,???,n)，

n

n

?(n?1)i?1

ad?cd?cb?be?ea?.求证：. a?1?5

?x

i?1

n

i

?1

求证：

i?1

例3、设xi?r?(i?1,2,???,n)，k?1.

n

1n1nxik?1

求证：?（2014，女子数学奥林匹克） xi??k???1?xx1?xi?1i?1ii?1ii?1i

n

2、去分母.能用切比雪夫不等式去分母的分式不等式，往往当变量排序后，分式的值也可以排序.一般的，当分母的值与分式的值都能排序时，可考虑用这种方法.

ak3

?（第四届中国东南） 例4、设a,b,c?0,abc?1.求证：对整数k(k?2),?

b?c2

例5、设a,b,c?0,a?b?c?1.求证：

?

1bc?a?

1a

?

27

（2014，塞尔维亚） 31

例6、a,b,c?0，

?a?b?1?1.求证：a?b?c?ab?bc?ca（2014，罗马尼亚）

12

3、极值问题中的化简作用.在多元极值问题中，恰当地运用切比雪夫不等式可以将代数式简化，有助于问题的解决.

例7、给定实数c?(,1).求最小的常数m，使得対任意的整数n?2及实数

nnm

1n

只要满足?kak?c?ak，总有?ak?m?ak，其中，0?a1?a2?????an，m??cn?

nk?1k?1k?1k?1

为不超过实数cn的最大整数.（2014，中国数学奥林匹克）. 例8、给定正整数r,s,t，满足1?r?s?t，对满足条件

xjxj?1

?1?

s?t

(j?1,2,???,n)的所j?t

?j(j?1)???(j?s?1)x

有正实数x1,x2,???,xn，求m?

n

j

?(j?r)???(j?s?1)x

j?1

j?1n

的最小值.

j

练习题

x33

1、 设x,y,z?r?,xyz?1.求证：??（第39届imo预选题）

(1?y)(1?z)4

（提示：利用切比雪夫去分母，在用均值不等式及切比雪夫不等式推论）

2、 设设为u，v，w正实数，满足条件u?vwu??1，试求u+v+w的最小值． （2014 第三届女子 五）

（提示：由切比雪夫不等式得3、 设a,b,c?0,

??

u?.

?3

a???a,a?b?c求证：ab2c3?1

1222cba23222c（提示：abc?abc??abc(??)由切比雪夫得 a3abc

1222cba122211112

abc(??)?abc(c?a?b)(??)?(ab?bc?ca)） 3abc9abc9

4、 设k是给定的非负整数.求证：对所有满足x?y?z?1的正实数x,y,z，不等式

xk?21

??xk?1?yk?zk7成立，并给出等号成立的条件.

（2014塞尔维亚数学奥林匹克）

（提示：当k?0时易证.当k?1时，不妨设x?y?z，则不难得到

xk?2yk?2zk?2?k?1k?k?1k

k?1kkkx?y?zy?z?xz?x?yk

，

xk?1?yk?zk?yk?1?zk?xk?zk?1?xk?yk由切比雪夫及其推论可证）

5、 设x1,x2,???,xn是n(n?2,n?n?)个非负实数，且求x1?4x2?????nxn的最大值. （提示：设si?

?x

i?1

n

i

?n,?ixi?2n?2

i?1

n

?x

j?i

n

j

.则x1?4x2?????nxn?s1?3s2?????(2n?1)sn由切比雪夫得

(n2?1)(s2?????sn).所以，最大值为n2?2 n?1

n?2n?2

,x2?x3?????xn?1?0,xn?当x1?n?时，取得等号） n?1n?13s2?????(2n?1)sn?

（补）在锐角三角形中，证明：

?sina??sin2a